Tutoriel : Musique et Harmoniques


On commence par une petite intro avec les harmoniques dans la musique.

clavier

Fréquences de notes de musique, pour les octaves de 0 à 7

0 1 2 3 4 5 6 7
Do 32,70Hz 65,41Hz 130,81Hz 261,63Hz 523,25Hz 1046,50Hz 2093,00Hz 4186,01Hz
Do♯ 34,65Hz 69,30Hz 138,59Hz 277,18Hz 554,37Hz 1108,73Hz 2217,46Hz 4434,92Hz
Ré 36,71Hz 73,42Hz 146,83Hz 293,66Hz 587,33Hz 1174,66Hz 2349,32Hz 4698,64Hz
Ré♯ 38,89Hz 77,78Hz 155,56Hz 311,13Hz 622,25Hz 1244,51Hz 2489,02Hz 4978,03Hz
Mi 41,20Hz 82,41Hz 164,81Hz 329,63Hz 659,26Hz 1318,51Hz 2637,02Hz 5274,04Hz
Fa 43,65Hz 87,31Hz 174,61Hz 349,23Hz 698,46Hz 1396,91Hz 2793,83Hz 5587,65Hz
Fa♯ 46,25Hz 92,50Hz 185,00Hz 369,99Hz 739,99Hz 1479,98Hz 2959,96Hz 5919,91Hz
Sol 49,00Hz 98,00Hz 196,00Hz 392,00Hz 783,99Hz 1567,98Hz 3135,96Hz 6271,93Hz
Sol♯ 51,91Hz 103,83Hz 207,65Hz 415,30Hz 830,61Hz 1661,22Hz 3322,44Hz 6644,88Hz
La 55,00Hz 110,00Hz 220,00Hz 440,00Hz 880,00Hz 1760,00Hz 3520,00Hz 7040,00Hz
La♯ 58,27Hz 116,54Hz 233,08Hz 466,16Hz 932,33Hz 1864,66Hz 3729,31Hz 7458,62Hz
Si 61,74Hz 123,47Hz 246,94Hz 493,88Hz 987,77Hz 1975,53Hz 3951,07Hz 7902,13Hz

C ‘est notre gamme à nous, celle à laquelle on est habituée, mais il en existe d’autres ( musiques orientales , et de grands musiciens ont composé avec d’autres gammes )

Ce qui caractérise une gamme c’est le nombre de notes et l’intervalle de fréquence entre ces notes.

On remarque tout de suite lorsqu’on examine chaque note, que sa fréquence dans l’octave au dessus est le double ; et la moitié pour l’octave en dessous

Ce sera toujours la même note , mais plus aigüe, ou plus grave.

Pour jouer une note il suffit de prendre un générateur basse fréquence qui délivre un signal parfaitement sinusoidal et de la caler sur la fréquence d’une note.

Mais ça donne un son très pauvre, et vite lassant.

Les instruments de musique offrent des sons bien plus riches, ce qui permet de les distinguer.

C ‘est le timbre de l’instrument. Mais ce n’est pas le plus important.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Timbre_(musique)

Ce qui permet aussi de distinguer les instruments, pour une même note c’est l’attaque et l’extinction.

voici un piano (fichier son pris sur le net, pas terrible )

Piano attaque et extinction des notes

et une flute :

flutte attaque et extinction des notes

Revenons aux harmoniques.

La note jouée s’appelle la fréquence fondamentale. L’instrument produit en plus des harmoniques. C ‘est à dire des fréquences multiples de la fréquence de la note, mais à un niveau plus faible que la fréquence de la note.

Je me suis livrée à une petite manipulation avec Audacity pour illsutrer les harmoniques.

Dans le menu générer on peut mettre un signal sinusoidal pur ( ou autres formes ) sur une piste.

On distingue les harmoniques pairs :

pour un La 440 hz

on aura l’harmonique 2 à 880 Hz
on aura l’harmonique 4 à 1760 Hz

etc jusqu ‘à ce qu ‘on arrive aux fréquences inaudibles , donc supérieures à 20 kHZ.

Le son est moins « fade »

on distingue les harmoniques impairs

pour un La 440 hz

on aura l’harmonique 3 à 1320 Hz
on aura l’harmonique 5 à 2200 Hz

etc jusqu ‘aux fréquences inaudibles.

Mais selon les instruments le niveau de chacun des harmoniques est différent : Ils n’ont pas le même timbre.

Un instrument de musique peut donner des harmoniques pairs et impairs

Les harmoniques sont représentées avec des raies sur un spectre

illustration.

Mais bien sur tout celà n’est pas gravé dans le marbre , la façon de jouer, va être déterminante .

Exemple la trompette saturée, un maître en la matière Maynard Ferguson http://www.youtube.com/watch?v=5IpoRdP4SXg&feature=related.

Pour la guitare selon qu ‘on joue avec les doigts ou un médiator l’attaque, le timbre est différent, plus toutes les autres techniques de jeu , picking , bottle neck, pedal steel guitar.

Puis le niveau des harmoniques change au cours de l’attaque et de l’extinction.

Donc le spectre n’est pas franchement stable.

Mais voilà si notre Si de l’octave 7 est à 7902,13Hz

l’harmonique 2 est à 15 804,26 Hz

l’harmonique 3 est au dessus de 20 KHz, donc pratiquement inaudible…

Mais pour les notes plus basses, on pourra entendre plus d’harmoniques.

Un autre problème des harmoniques est qu ‘on arrive assez vite au dessus de 20 kHz, or en numérique la fréquence d’échantillonage est de 44,1 kHz.

Si on ne coupe pas au dessus de 20kHz, ces harmoniques vont créer de l’alisasing, ( voir l’article consacré à l’échantillonage ) qui vont se replier dans la bande audible et bien que la fréquence fondamentale soit hors de la bande des 20 kHz. A cause des harmoniques on entendrait un mélange de ces fausses fréquences et des bonnes contenues dans l’enregistrement.

Autrement dit le son sera pourri de chez pourri.

Avec l’analogique on a pas ce problème. déjà les amplis ont des filtres;

Que donne comme signal dans un micro un instrument de musique avec ses harmoniques ?

Ce ne sont plus des sinusoides pures, mais des sinusoides altérées.

Avec le Mixage d’ Audacity, j’ai créé un La 440 Hz avec les deux premiers harmoniques pairs 880 et 1320 Hz avec des niveaux de plus en plus bas :

La_Harmoniques_Pairs

Voilà ce que donne la combinaison de ces trois sinusoides : la fondamentale et deux premier harmoniques pairs.

La_Harmoniques_Pairs_Mixage

Les instruments de musique générant des harmoniques ne produisent pas une sinusoide pure, mais un signal qui est la somme de la fondamentale et de ses harmoniques.

Le son est nettement différent de la seule fondamentale.

( puis avec Audacity on peut rendre chaque piste d’harmoniques muette, et la remettre pour écouter les différences )

Profitons qu’ Audacity nous sorte le spectre.

La_Harmoniques_Pairs_Spectre

Sur le spectre ce ne sont pas des raies,( c’est du au nombre d’échantillons trop faibles : fréquence d’échantillonnage de l’enregistrement trop faible ) mais on voit bien les 3 pics : la fondamentale 440 hz et l’harmonique 2 vers 880 Hz ainsi que l’harmonique 4 à 1760 Hz

Idem pour les harmoniques impairs 440 Hz 1320 Hz 2200 Hz, avec des niveaux de 0,8 0,4 et 0,2

Avec d’autres niveaux l’allure du signal mixé aurait été différente.

La_Harmoniques_Impairs

Le signal combinant les trois :

La_Harmoniques_Impairs_Mixage

On remarque qu ‘avec les harmoniques impairs, le signal est altéré différemment, ça semble tourner au signal carré alors que pour les pairs on était dans des formes plus sinusoidales.

La_Harmoniques_Impairs_Spectre

Signal (périodique) d’une note de piano , au moment de l’attaque.

signal du piano au moment de l'attaque

Signal du piano, dans une phase stable ( stationnaire ) de la note Do 3

signal du piano dans une partie stable

Spectre de la note ( partie stable )

Spectre d'harmoniques Do3 du piano

On voit la fréquence fondamentale ( pic vers 260 hz ), puis les harmoniques 2 ( pic vers 520 Hz ), 3 ( pic vers 780 Hz ) 4 ( pic vers 1040 Hz ), etc…avec un niveau de moins en moins élevé.

On remarque que le niveau des premiers harmoniques pairs sont plus élévés que celui des impairs..

Cette variation de niveau des harmoniques, diffère selon les instruments, ils ont un timbre différent. Puis ça varie dans l’attaque et l’extinction.

Mieux l’oreille humaine et notre cerveau sont capables de reconstituer la fréquence fondamental, si on l’enlève, à partir de cette courbe de niveau des harmoniques.

C ‘est utilisé pour les supers basses artificielles des mini chaines de m*** vu que ces engins ne passent pas les fréquences trop basses et ça donne l’illusion d’entendre l’ octave en dessous. Je trouve le son des « super basses » dégueulasse , mais bon.

Complexité du son :

Un exemple d’étude sur les cymbales où l’on parle de plusieurs régimes, dont un cahotique.

http://david.fournier.ecp04.pagesperso-orange.fr/ProjetCymbale/cdrom/nonlineaire.html

Très bien ! On a vu que les instruments de musique étaient très riches en harmoniques, et que c’est ce qui en faisait leur beauté.

Mais il y a une autre source d’harmoniques moins heureuse, c’est le taux de distorsion des préamplis et amplis. Il déforme le signal et génère des harmoniques.

Le cas le plus fréquent c’est lorsqu ‘un étage d’amplification est saturé : une onde sinusoïdale sera alors écrétée .

Mathématiquement ce n’est plus une sinusoide simple et seule, mais une sinusoide plus des harmoniques.

Démonstration :

harmoniques dues a l'ecretage

C ‘est sur ce principe que fonctionnent les distorsions de guitare : on sature un bon coup un étage d’amplification, ça génère beaucoup d’hamoniques, et avec un flitre réglable on laisse passer plus ou mois d’harmoniques. Mais c’est voulu et ça s’adapte bien à la guitare électrique, par contre ça ne colle pas du tout pour la voix et pour l’ensemble d’un orchestre.

Une autre source de distorsion est la non linéarité des étages d’amplification :

Cette sinusoide a été un peu déformée ( presque des demis cercles grace aux effets de Audacity ).

harmoniques dus à la nonlinearité

Revenons à l’électronique :

Harmoniques d’un signal carré 440 Hz :

Harmoniques _Onde_carrée

Le signal représenté sur la courbe ci-contre ressemble fortement à un signal carré. Il a en fait été reconstitué à l’aide d’une partie des composantes d’un signal carré : une fréquence fondamentale et ses harmoniques impaires.

Chaque composante a une amplitude particulière :
– fondamentale : amplitude 1
– harmonique 3 : amplitude 1/3
– harmonique 5 : amplitude 1/5
-harmonique 7 : amplitude 1/7

…et ainsi de suite jusqu’à l’harmonique 23.

On peut reconstituer un signal carré à partir de sa fondamentale et de ses harmoniques sous forme sinusoidale pure ( mathématique ) en respectant le niveau de chacun.

Reconstitution d'un signal carré à partir de sinusoides

Vérifions les niveaux de chacun des harmoniques, sur le spectre, avant de mixer.

Spectre harmoniques carré

Signal carré reconstitué à partir de sinusoides jusqu’à l’harmonique 7

 Signal carré reconstitués à partir de sinusoides, jusqu 'à l'harmonique 7

Pour obtenir un signal parfaitement carré, il aurait fallu une infinité d’harmoniques.

Aussi il restera quelques petites vaguelettes sur les bords des carré , et il sera un peu trapézoidal.

Mais si on envoie un signal carré pur dans un montage électronique, il n’a pas une bande passante infinie, pour laisser passer les harmoniques de rang élévé. Aussi en sortie les carrés sont altérés.

Par exemple, la sortie numérique d’un lecteur de CD, doit avoir une très grande bande passante, ainsi que la connectique et les cables, et l’entrée du DAC, pour ne pas trop déformer les carrés, issus de la sortie digitale SPDIF.

Voir l’analyse et les oscillogrammes de quelques modèles de lecteurs de CD de TVCaudio, qui propose un petit module pour améliorer la sortie SPDIF de certains lecteurs.

http://sites.google.com/site/tvcaudiodocuments/home/spdif-hall-of-fame#TOC-Introduction—Summary

Harmoniques d’un signal triangulaire

Si on avait ajouté les harmoniques pairs la forme du signal résultant aurait été un triangle.

Harmoniques _Onde_triangulaire

Je suppose que dans les exemples d’oscillogrammes SPDIF avec les carrés déformés en pente au lieu d’être horizontaux, contiennent un peu d’harmonique 2, généré par un des composants ou le montage.. ( souvenez vous plus haut on a vu la génération d’harmoniques non désirés ).

Quel importance me direz vous ? c’est du numérique !

Hélas on est pas dans du numérique basse fréquence et dans l’automatisme : la longueur de la laison ( et celle des pistes de circuit imprimé) à ces fréquences se comporte comme un circuit RLC.

Sur des cartes d’ordis , il suffisait de les mettre sur un prolongateur de panier, ou de poser la pointe de l’oscillo ( 100 MHz ) pour qu’elle ne fonctionnent plus , à cause des retards , de l’atténuation, provoquant des erreurs d’horloge. La plupart des pannes provenaient de la légère augmentation du temps de réponse d’un circuit, fonctionnant presque à la limite, avec le vieillissement.

Si le front du carré est légèrement incliné, vu que le seuil de basculement de la TTL est fixe, la durée des crénaux sera affectée, ainsi que l’information qu ‘ils transportent en numérique, vu que leur durée est variable.

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